차원분석을 한 후 이를 수학적 모델에 적용하는 방법은 관련된 여러 물리 변수를 조합하여 모든 차원을 제거한 무차원 변수를 구하는 것입니다. 여기서 '무차원 변수'란, 물리량의 차원을 분석하고, 이를 다른 물리량들과 곱하고 나누어 물리적 차원이 없도록 만든 변수를 말합니다.

공기 저항력에 관여하는 무차원 변수를 구해 볼까요? 임의의 무차원 변수를 Π라 하면, 이는 저항력 F를 같은 차원의 변수로 나누어 차원을 제거한 형태로 구할 수 있는데요. 이때 나누는 변수는 그 차원과 같게 나머지 세 독립 변수를 조합하여 만들 수 있습니다. 수식에서 v, A, ρ 세 물리 변수가 어떤 조합으로 나누어지는지는 미지수 a, b, c를 사용해 거듭제곱 형태로 표현해야겠지요.

마지막으로 연립방정식을 세워 a, b, c를 구하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

결과적으로 a=-2, b=-1, c=-1임을 알 수 있습니다. 따라서 공기저항 현상에 대한 무차원 변수 Π는 다음과 같이 표현됩니다.

따라서 자동차가 받는 저항력 F는 v²ρA 에 비례한다고 할 수 있겠지요. 처음에는 저항력이라는 물리량이 어떤 요인과 어떠한 관계를 맺고 있는지 명확하지 않았지만, 차원해석과 무차원화를 통해 속도의 제곱과 유체 밀도, 그리고 투영 면적의 곱에 비례한다는 사실을 알 수 있게 된 것입니다.

모형 선박의 경우 실험을 통해 속도와 실제 저항 값을 구할 수 있기에 역산을 통해 저항계수를 구할 수 있습니다. 그렇다면 실험을 할 수 없는 실제 선박의 저항계수는 어떻게 구해야 할까요? 저항계수는 단순히 크기나 부피에 비례하는 것이 아닙니다. 선박과 파도 사이의 상호작용, 프로펠러의 캐비테이션⁵ 현상이 선박의 크기에 따라 천차만별로 달라지기 때문입니다. 바로 여기에서 무차원수인 프루드 수가 활용됩니다.

19세기 프루드는 여러 차례의 모형 실험을 통해 다음의 프루드 상사법칙(Law of comparison)을 알아내는 업적을 남겼습니다. “선박의 크기가 모형선 치수의 D배이고 속도 V₁, V₂, V₃⋯ 에서 측정된 모형선의 저항이 R₁, R₂, R₃⋯일 때, 실제 선박의 경우 속도 V₁√D, V₂√D, V₃√D⋯에서 R₁D³, R₂D³, R₃D³⋯ 의 저항을 받는다.” 프루드는 이 결과를 통해 모형선 저항에 대한 실험 결과를 실제 선박으로 확장시킬 수 있었고, 20세기 초 영국 해군력에 지대한 기여를 하였던 것이죠.

현대적 관점에서, 프루드의 연구결과는 v/√gL의 값이 같은 경우 모형과 선박의 저항계수가 일치한다는 결론으로 바라볼 수 있습니다. 예를 들어 볼까요? 총 길이가 100m인 선박이 10m/s로 운행할 때의 저항을 알아봅시다. 직접 실험할 수 없으니 25분의 1로 줄어든 4m짜리 모형을 대신 운행해 저항 계수를 알아내어야겠지요. 프루드 수가 같아지려면 크기가 1/25로 줄어들었을 때 속도는 1/5로 줄어들어야 할 것입니다. 이 모형을 2m/s로 운행하도록 하여 측정한 저항으로부터 저항계수를 구하고, 이때의 저항 계수를 실제 선박의 저항계수로 사용하면 실제 선박의 저항을 산출할 수 있습니다. 이러한 프루드의 업적을 기려, 후대 공학자들은 무차원수 v/√gL에 프루드의 이름을 붙여 부르게 된 것입니다.

이렇듯 프루드 수는 조선공학에서 선박과 다양한 요소의 상호작용을 계산해야 할 때, 실제와 모형 사이의 크기 효과를 보정하는 데에 사용됩니다. 커다란 실제 선박에서의 물리 현상을 직접 실험해 보지도 않고 모형 실험으로부터 알아낸 프루드라면, 다음과 같은 말을 하지 않았을까요?

“길고 짧은 건 안 대 봐도 안다!”